|
| |
|
|
Pellova rovnice, řetězové zlomky a diofantické aproximace iracionálních čísel
Kodýtek, Jakub ; Beran, Filip (vedoucí práce) ; Jančařík, Antonín (oponent)
This bachelor's thesis deals with Pell's equation, while clearly presenting structured information from studied domestic and foreign books, articles, and other sources. The goal of this thesis is to create study material primarily for university students but also for inquisitive high school students, and thus explain as intuitively as possible what Pell's equation is, how to find its solutions, and how it is related, for example, to continued fractions, approximations of irrational numbers, and invertible elements in Z[√n ]. The main motivation for solving Pell's equation throughout the work is specifically that its solutions give best approximations of irrational square roots. Pell's equation is presented in a brief historical context. Further, it is proved that there is a non-trivial integer solution for every Pell equation, and the theory of continued fractions is used to find it. To make the creation of continued fractions easier, the so-called Tenner's algorithm is introduced. Specifically, the search for a solution to Pell's equation is derived using convergents and the periodicity of continued fractions of irrational roots. Subsequently, the structure of the solution is described: it is proved that there is a so-called minimal solution that generates all positive solutions, and a set of...
|
|
|
Řetězové zlomky v teorii kódů
Fišer, Jan ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Holub, Štěpán (oponent)
Tato práce nás nejprve seznamuje s Reed-Solomonovy kódy, způsoby jejich konstrukce a kódování. Zároveň uvádíme důkazy jejich nejvýznamnějších vlastností s příslušným teoretickým základem. Ve druhé kapitole zavádíme pojem řetězových zlomků nad tělesem a zkoumáme jejich strukturu. Ap- likací provedených obecných pozorování na konkrétní případ Laurentových formálních řad se pak dostáváme k účinnému dekódovacímu algoritmu Reed- Solomonových kódů. Bez kompletních důkazů uvádíme ještě další dva dekó- dovací algoritmy, které jsou také založeny na řešení klíčové rovnice, a to Berlekampův-Masseyův a Eukleidův. V závěru práce ukazujeme ekvivalenci těchto tří algoritmů.
|
|
|
Číslo π a řetězové zlomky
Švejdová, Aneta ; Halas, Zdeněk (vedoucí práce) ; Slavík, Antonín (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá jednou z nejznámějších matematických konstant, číslem π. Formou srozumitelnou žákům vyšších ročníků středních škol se zájmem o matematiku nejprve představuje nejznámější způsoby, kterými se v historii lidé snažili toto číslo aproximovat. Konkrétně se zabývá metodou Egypťanů, obyvatel starověké Mezopotámie a metodou Archimédovou. Dále představuje vyjádření π ve formě nekonečného součinu podle F. Vièta a J. Wallise. V druhé části se práce soustředí na vyjádření čísla π řetězovými zlomky, které nejprve obecně definuje a zavede základní vztahy, které se jich týkají. Poté představuje vyjádření π formou řetězového zlomku podle J. H. Lamberta, L. Eulera a W. Brounckera. Na závěr je uveden důkaz iracionality čísla π pomocí řetězových zlomků a jednoduchý důkaz jeho transcendence. Práce si klade za cíl rozšířit tvrzení uváděná v populárních knihách o π o jejich matematická zdůvodnění a uvést základní myšlenky, které k nim vedou.
|
|
|
Řetězové zlomky v teorii kódů
Fišer, Jan ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Holub, Štěpán (oponent)
Tato práce nás nejprve seznamuje s Reed-Solomonovy kódy, způsoby jejich konstrukce a kódování. Zároveň uvádíme důkazy jejich nejvýznamnějších vlastností s příslušným teoretickým základem. Ve druhé kapitole zavádíme pojem řetězových zlomků nad tělesem a zkoumáme jejich strukturu. Ap- likací provedených obecných pozorování na konkrétní případ Laurentových formálních řad se pak dostáváme k účinnému dekódovacímu algoritmu Reed- Solomonových kódů. Bez kompletních důkazů uvádíme ještě další dva dekó- dovací algoritmy, které jsou také založeny na řešení klíčové rovnice, a to Berlekampův-Masseyův a Eukleidův. V závěru práce ukazujeme ekvivalenci těchto tří algoritmů.
|
|
| |
|
| |
host ::
RSS.